线段树学习笔记

开篇

区间和：前缀和
区间加减值：差分（离线）
区间最值：RMQ，单调队列
单点修改，区间查询：树状数组
单点/区间修改，区间查询：线段树。

Updated at 2025.05.21
Updated at 2025.05.25

线段树

$O(nlogn)$ 的复杂度内完成 $n$ 个数的区间修改
单点修改复杂度 $O(logn)$
线段树采用完全二叉树的方法存储，数组存储，数组长度要开 $4\times n$ 。

建树

//递归建树(a为原始数组，tr为线段树)
int tr[101010], a[10];
void build(int k, int l, int r) { //分别对应：节点标号，对应数组的的区间的左右下标
	if (l == r) {
		tr[k] = a[l]; //如果是叶子节点
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(k * 2, l, mid);//构造左子树
	build(k * 2 + 1, mid + 1, r);//构造右子树
	tr[k] = tr[k * 2] + tr[k * 2 + 1];//pushup操作：利用子节点更新父节点
}

单点修改

//单点修改：将原始数组下标为p点的值增加v
void update(int k, int l, int r, int p, int v) {
	if (l == p and r == p) {
		tr[k] += v;//如果是符合条件的叶节点,直接修改
		return ;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	if (p <= mid) update(k * 2, l, mid, p, v);
	else update(k * 2 + 1, mid + 1, r, p, v);

	//pushup: 递归后退，利用子节点更新父节点
	tr[k] = tr[k * 2] + tr[k * 2] + 1;
}

区间查询

区间查询：递归到完整的被查询区间包含的节点返回。
1. 判断递归到的节点 $(k,l,r)$ 是否被区间 $(x,y)$ 包含： if(l >= x and r <= y)
2. 如果递归到的节点没有被查询区间包含，判断左右子树是否有贡献

左子树答案有贡献：x <= mid
右子树对答案有贡献：y > mid

//区间查询：在下表为k的位置开始，在区间 [x,y] 中查询区间 [l,r] 的区间和
int query(int k,int l,int r,int x,int y){
	if(l >= x and r <= y) return tr[k];//全部在 [l,r] 内部，所以全部算上,见图 query-pass
	int mid = l+r>>1;
	int res = 0;
	//分配到左子树，见图 query-left ,因为右子树还有，所以先加到res里
	if(x <= mid) res = query(k*2,l,mid,x,y);
	//右子树分流，见图 query-right
	if(y > mid) res += query(k*2+1,mid+1,r,x,y);
	return res;
}

图query-pass
图query-left
图query-right

数列修改求和2

//板子水过
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+10;
ll tr[N * 4];
int n, m, k, x, y;

void update(int k, int l, int r, int p, int v) {
//单点修改
	if (l == p and r == p) {
		tr[k] += v;
		return ;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	if (p <= mid) update(k * 2, l, mid, p, v);
	else update(k * 2 + 1, mid + 1, r, p, v);
	//pushup
	tr[k] = tr[k * 2] + tr[k * 2 + 1];
}

ll query(int k, int l, int r, int x, int y) {
	if (l >= x and r <= y) return tr[k];
	ll res = 0;
	int mid = l + r >> 1;
	if (x <= mid) res += query(k * 2, l, mid, x, y);
	if (y > mid) res += query(k * 2 + 1, mid + 1, r, x, y);
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	while(m--){
		scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
		if(k == 0) update(1,1,n,x,y);
		else printf("%lld\n",query(1,1,n,x,y));
	}

}

【一本通提高篇线段树】最大数maxnumber

/*
操作1：我们先把所有可能添加到的下标预留出来（数组开好），然后来一个就update一个，一个一个来
操作2：我们直接整区间查询query板子就行。
炸了，l写成1了，MLE调了半天变成RE就是因为这个烦人的字体
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;
ll m, p, x;
ll cnt;
char k;
ll tr[N * 4];

void update(int k, int l, int r, int p, int u) {
	if (l == p and r == p) {
		tr[k] = u;
		return ;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	if (p <= mid) update(k * 2, l, mid, p, u);
	else update(k * 2 + 1, mid + 1, r, p, u);
	tr[k] = max(tr[k * 2], tr[k * 2 + 1]);										 //Warning: 这里是最大数而不是求和
}

ll query(int k, int l, int r, int x, int y) {
	if (l >= x and y >= r) {
		return tr[k];
	}
	ll res = 0;
	int mid = l + r >> 1;
	if (x <= mid) {
		res = max(res, query(k * 2, l, mid, x, y));
	}
	if (y > mid) res = max(res, query(k * 2 + 1, mid + 1, r, x, y));
	return res;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin >> m >> p;
	int ans = 0;//记录上一次query的值
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> k >> x;
		if (k == 'A') update(1, 1, m, ++cnt, (x + ans) % p);
		else {
			ans = query(1, 1, m, cnt - x + 1, cnt);
			cout << ans << "\n";
		}
	}
	return 0;
}

树状数组练习B.-【一本通提高篇树状数组】数星星

/*
其实这个题在我的树桩数组专题里面也有，更详细。
题意就是让我们统计对于这所有的点中的每一个点，x和y同时小于或等于它的点的数量。
不难发现（如果你认真读题的话），输入现在已经把y帮你排好序了，那我们只要输入一个统计一个就无需计算y的点了，因为在这个点之前的所有输入过的点的y都是满足条件的。
只需要统计x即可。我们每次输入一个就update一下，我们把线段树上的x给update加1，然后再跑一遍query就能得出这个值了，query的是小于它的数的值。
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 4e4+10;
int tr[N * 4], n, x, y;
int ans[N];
#define ls k*2
#define rs k*2+1
void update(int k, int l, int r, int p, int v) {
	if (l == p and r == p) {
		tr[k] += v;
		return ;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	if (p <= mid) update(ls, l, mid, p, v);
	if (p > mid) update(rs, mid + 1, r, p, v);
	tr[k] = tr[ls] + tr[rs]; //pushup;
}

int query(int k,int l,int r,int x,int y){
	if(l >= x and r <= y){
		return tr[k];
	}
	int mid = l+r>>1,res = 0;
	if(x <= mid) res += query(ls,l,mid,x,y);
	if(y > mid) res += query(rs,mid+1,r,x,y);
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d%d", &x, &y);
		x++,y++;
		cout<<query(1, 1, 40000, 1, x)<<"\n";
		update(1, 1, 40000, x, 1);
	}
}

不稳定的数字

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int tr[N * 4];
int l[N], r[N], n, b[N], a[N];
#define ls k*2
#define rs k*2+1
void update(int k, int l, int r, int p, int v) {
	if (l == p and r == p) {
		tr[k] += v;
		return ;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	if (p <= mid) update(ls, l, mid, p, v);
	else update(rs, mid + 1, r, p, v);
	tr[k] = tr[ls] + tr[rs];
}
int query(int k, int l, int r, int x, int y) {
	if (l >= x and r <= y) {
		return tr[k];
	}
	int mid = l + r >> 1, res = 0;
	if (x <= mid) res += query(ls, l, mid, x, y);
	if (y > mid) res += query(rs, mid + 1, r, x, y);
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &b[i]);
		a[i] = b[i];
	}
	sort(b + 1, b + 1 + n);
	int k;
	k = unique(b + 1, b + 1 + n) - b - 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i] = lower_bound(b + 1, b + 1 + k, a[i]) - b;
		l[i] = query(1, 1, k, a[i] + 1, k);
		update(1, 1, k, a[i], 1);
	}
	memset(tr, 0, sizeof tr);
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		r[i] = query(1, 1, k, a[i] + 1, k);
		update(1, 1, k, a[i], 1);
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int ma = max(l[i], r[i]);
		int mi = min(l[i], r[i]);
		if (ma > mi * 2) ans++;
	}
	printf("%d", ans);
}

区间修改

递归到完整的被修改区间 $[x,y]$ 所包含的结点。
修改本节点的值，打懒标记（lazytag）
懒标记：当前节点所有子孙节点未来要加上的数。
标记下放：什么时候向下递归顺便下放懒标记。

Luogu: 线段树1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
typedef long long ll;
ll tr[N * 4], lazytag[N * 4];
int a[N], n, m;
#define ls k*2
#define rs k*2+1
void build(int k, int l, int r) {
	if (l == r) tr[k] = a[l];
	else {
		int mid = l + r >> 1;
		build(ls, l, mid);
		build(rs, mid + 1, r);
		tr[k] = tr[ls] + tr[rs];
	}
}
void change(int k, int l, int r, int v) {
	tr[k] += (ll)v * (r - l + 1);
	lazytag[k] += v;
}
void pushdown(int k, int l, int r) {
	if (lazytag[k] != 0) {
		int mid = l + r >> 1;
		change(ls, l, mid, lazytag[k]);
		change(rs, mid + 1, r, lazytag[k]);
		lazytag[k] = 0;
	}
}
void modify(int k, int l, int r, int x, int y, int v) {
	if (l >= x and r <= y) {
		change(k, l, r, v);
		return ;
	}
	pushdown(k, l, r);
	int mid =  l + r >> 1;
	if (x <= mid) modify(ls, l, mid, x, y, v);
	if(y > mid) modify(rs, mid + 1, r, x, y, v);
	tr[k] = tr[ls] + tr[rs];
}
ll query(int k, int l, int r, int x, int y) {
	if (l >= x and r <= y) {
		return tr[k];
	}
	pushdown(k, l, r);
	int mid = l + r >> 1;
	ll res = 0;
	if (x <= mid) res += query(ls, l, mid, x, y);
	if (y > mid) res += query(rs, mid + 1, r, x, y);
	return res;
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	build(1, 1, n);
	char c;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> c;
		if (c == 'C') {
			int d, x, y;
			cin >> x >> y >> d;
			modify(1, 1, n, x, y, d);
		} else {
			int x, y;
			cin >> x >> y;
			cout << query(1, 1, n, x, y) << '\n';
		}
	}
}

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区间查询

数列修改求和2

【一本通提高篇线段树】最大数maxnumber

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区间修改

Luogu: 线段树1

树状数组练习B.-【一本通提高篇树状数组】数星星